Однажды, когда мы с семьей отдыхали на море, то познакомились с одним священником ... к своему имени слово отец ?

Когда священник сам себя именует «отцом», в этом есть большая неловкость. «Отцом» священника могут называть только другие люди, которым он примером своей жизни и пастырской деятельностью должен являть образ Христова отцовства; но не он сам. Священнику прилично представляться, прибавляя к своему имени носимое им церковное звание: «священник Николай», «протоиерей Василий», «архимандрит Тит» и т.п. Если священник находится в нецерковной среде, скажем, на курорте, то, он вполне может назвать и просто своё имя, чтобы не смущать окружающих.