Я слышал, что Таинство Крещения может совершить и мирянин, но при каких-то особых ... и что он для этого должен сделать?

Особые обстоятельства – когда человеку грозит смерть, и он желает креститься. В таком случае любой мирянин, сознательный православный христианин, по возможности должен кратко испытать веру этого человека и совершить его крещение, то есть троекратно погрузить в воду со словами «крещается раб Божий (или раба Божия) (назвать имя) во имя Отца. Аминь. И Сына. Аминь. И Святого Духа. Аминь». Если нет возможности полностью погрузить крещаемого в воду, то можно трижды окропить его водой. Известны ситуации, когда не было ни капли воды, тогда крестили песком, землёй. Но это, конечно, крайние случаи. Если после принятого «экстремального» Крещения человек остаётся в живых, то при первой возможности ему надлежит обратиться в храм, рассказать священнику о произошедшем, и священник дополнит совершившееся крещение Таинством Миропомазания и положенными молитвами.